Як вирішувати системи рівнянь?

Система рівнянь - на перший погляд, абсолютно марна і непотрібна в житті річ. Але якщо вдивитися в суть процесів, що відбуваються навколо нас, в природі, в досягненнях науки і техніки, стає ясно - це не так. Майже будь-яке явище може бути описано системою рівнянь, починаючи від дощу навесні, закінчуючи польотами астероїдів в космосі. А, як відомо, явище, для якого визначено досить точний опис, може бути передбачене.

Що таке система рівнянь

Системою називається деяка кількість звичайних рівнянь, які повинні виконуватися одночасно. На листі система позначається фігурною дужкою з лівого боку, що об`єднує всі рівняння. А як вирішувати систему рівнянь? Завдяки тому, що всі рівняння кожної даної системи повинні бути в силі разом, відкриваються кілька способів переінакшити, перетворити систему, не змінивши її коренів. Такі перетворення називаються еквівалентними. Наприклад, є система «х + у = 2 - х - у = 0» Очевидно, її коріння «х = 1 - у = 1». Розглянемо еквівалентні перетворення.

додавання

Вирішити систему рівнянь методом складання найпростіше. Додамо до першого рівняння друге, причому повністю - і ліву і праву частини. Отримаємо систему «2 * х + 0 * у = 2 + 0 - х - у = 0». У першому рівнянні системи знаходимо корінь х = 1. Підставляємо його в друге рівняння і отримуємо значення другої змінної у = 1. Система вирішена. Слід пам`ятати, що перед складанням рівняння можна повністю помножити на константу, що також є еквівалентним перетворенням. І ця константа не обов`язково повинна бути позитивною.

підстановка

Якщо ж завдання звучить як «вирішите систему рівнянь методом підстановки» - все дещо гірше. Метод підстановки більш гормоздок в порівнянні з методом складання і на одну невелику систему може піти не один аркуш із зошита. Для того щоб вирішити систему рівнянь методом підстановки, треба взяти одне з рівнянь (для зручності - перше) і висловити з нього одну з змінних (для зручності знову першу). Вийде рівняння виду «х = 2y + 7z + 9a -2b - 11» Тепер у всіх інших рівняннях замість х підставляємо підібране для нього вираз «2y + 7z + 9a -2b - 11», не забуваючи помножити його на числовий коефіцієнт при х в вихідному рівнянні. Отримуємо рівняння, що виражає х і кілька рівнянь, від х не залежать. Потім аналогічну операцію проробляємо для всіх змінних. В останньому рівнянні виявиться явно виражена остання змінна, така особливість цього методу. І, як наслідок, її можна знайти. Знаючи останню змінну, можна підставити її чисельне значення в передостаннє рівняння і знайти вже передостанню змінну. Продовжуючи такі махінації, можна знайти всі змінні. При вирішенні завдань на такий метод, слід бути дуже уважним - в цій масі арифметичних операцій складно не заплутатися і не допустити прикрої помилки. Для перевірки правильності рішення можна використовувати сервіс Wolfram Alpha. Це потужний обчислювальний центр, який може дати відповідь на найрізноманітніші запити, треба тільки описати задачу так, щоб комп`ютер її зрозумів. Наприклад, щоб задати йому систему рівнянь, треба ввести рівняння, розділяючи їх крапкою з комою.