Як знайти екстремум?
Перш, ніж навчитися знаходити екстремуми функції, необхідно зрозуміти, що ж таке екстремум. Саме загальне визначення екстремуму говорить, що це вживане в математиці найменше або найбільше значення функції на певному безлічі числовий лінії або графіку. У тому місці, де знаходиться мінімум, з`являється екстремум мінімуму, а там, де максимум - екстремум максимуму. Також в такій дисципліні, як математичний аналіз, виділяють локальні екстремуми функції. Тепер давайте розглянемо, як знайти екстремуми.
Екстремуми в математиці відносяться до найважливіших характеристик функції, вони показують її найбільше і найменше значення. Знаходяться екстремуми переважно в критичних точках знаходять функцій. Варто відзначити, що саме в точці екстремуму функція кардинально змінює свій напрямок. Якщо прорахувати похідну від точки екстремуму, то вона, згідно з визначенням, повинна дорівнювати нулю або ж зовсім буде відсутній. Таким чином, щоб дізнатися, як знайти екстремум функції, необхідно виконати дві послідовні завдання:
- знайти похідну для тієї функції, яку необхідно визначити завданням;
- знайти корені рівняння.
Послідовність знаходження екстремуму
- Оформіть в письмовому вигляді функцію f (x), яка задана. Знайдіть її похідну першого порядку f `(x). Те вираз, яке вийде, прирівняти до нуля.
- Тепер вам треба буде розв`язати то рівняння, яке вийшло. Результуючі рішення і будуть корінням рівняння, а також критичними точками визначається функції.
- Тепер визначаємо, якими саме критичними точками (максимуму або мінімуму) є знайдені корені. Наступним етапом, після того, як ми дізналися, як знаходити точки екстремуму функції, є знаходження другої похідної від шуканої функції f `(x). Необхідно буде підставити в конкретне нерівність значення знайдених критичних точок і потім порахувати, що вийде. Якщо станеться так, що друга похідна виявиться більше нуля в критичній точці, то нею і буде точка мінімуму, а в іншому випадку - це буде точка максимуму.
- Залишається порахувати значення початкової функції в необхідних точках максимуму і мінімуму функції. Щоб це зробити, підставляємо отримані значення в функцію і розраховуємо. Однак варто зазначити, що, якщо критична точка виявилася максимумом, то і екстремум буде максимальним, а якщо мінімумом, то мінімальним за аналогією.
Алгоритм знаходження екстремуму
Щоб узагальнити отримані знання, складемо короткий алгоритм того, як знаходити точки екстремуму.
- Знаходимо область визначення заданої функції і її інтервали, які точно визначають, на яких проміжках функція неперервна.
- Знаходимо похідну від функції f `(x).
- Обчислюємо критичні точки рівняння y = f (x).
- Аналізуємо зміни напрямку функції f (x), а також знак похідної f `(x) там, де критичні точки поділяють область визначення даної функції.
- Тепер визначаємо, чи є кожна точка на графіку максимумом або мінімумом.
- Знаходимо значення функції в тих точках, які є екстремумами.
- Фіксуємо результат даного дослідження - екстремуми і проміжки монотонності. От і все. Тепер ми розглянули, як можна знайти екстремум на будь-якому проміжку. Якщо вам необхідно знайти екстремум на певному проміжку функції, то робиться це аналогічним чином, тільки обов`язково враховуються кордону виробленого дослідження.
Отже, ми розглянули, як знайти точки екстремуму функції. За допомогою нескладних обчислень, а також знань про знаходження похідних, можна знайти будь-який екстремум і обчислити його, а також графічно його позначити. Знаходження екстремумів є одним з найважливіших розділів математики, як у школі, так і у Вищому навчальному закладі, тому, якщо ви навчитеся правильно їх визначати, то вчитися стане набагато простіше і цікавіше.
