Як знайти синус зовнішнього кута?

Синуси кутів необхідно буває обчислювати не тільки в прямокутному трикутнику, а й в будь-якому іншому. Для цього потрібно провести висоту трикутника (перпендикуляр до однієї зі сторін, опущений з протилежного кутка) і вирішувати завдання як для прямокутного трикутника, використовуючи в якості одного з катетів висоту.

Як знаходити синус зовнішнього кута трикутника

Спочатку потрібно зрозуміти, що таке зовнішній кут. У нас є довільний трикутник АВС. Якщо одну зі сторін, наприклад, АС, продовжити за межі кута ВАС і намалювати промінь АТ, то новий кут ОАВ буде зовнішнім. Ось його синус ми і будемо шукати.

Для вирішення завдання нам потрібно з кута АВС опустити перпендикуляр ВН на сторону АС. Це буде висота трикутника. Хід виконання завдання буде залежати від того, що нам відомо.

Найпростіший варіант - якщо відомий кут ВАС. Тоді задача вирішується гранично легко. Оскільки промінь ОС - пряма, то кут ОАС = 180 °. Значить, кут ОАВ і ВАС - суміжні, а синуси суміжних кутів рівні за величиною.

Розглянемо іншу задачу: в довільному трикутнику АВС відома сторона: AB = a і висота ВН = h. Потрібно знайти синус кута ОАС. Оскільки у нас тепер вийшов прямокутний трикутник АВН, синус кута АВН буде дорівнює відношенню катета ВН до гіпотенузи АВ:

• sinBAH = BH / AB = h / a.

Це теж просто. Більш складне завдання, якщо відома висота h і сторони AC = c, ВС = b, при цьому потрібно знайти синус кута ОАВ.

По теоремі Піфагора знаходимо катет СН трикутника ВСН:

• BCsup2- = BHsup2- + CHsup2- bsup2- = hsup2- + CHsup2-,
• CHsup2- = bsup2- - hsup2-, CH = radic- (bsup2- - hsup2-).

Звідси можна знайти відрізок АН боку АС:

• AH = AC - CH = c - radic- (bsup2- - hsup2-).

Тепер знову використовуємо теорему Піфагора, щоб знайти третю сторону АВ трикутника АВН:

• ABsup2- = BHsup2- + AHsup2- = hsup2- + (c - radic- (bsup2- - hsup2 -)) sup2-.

Синус кута ВАС дорівнює відношенню висоти ВН трикутника до сторони АВ:

• sinBAC = BH / AH = h / (c - radic- (bsup2- - hsup2-)).

Оскільки кути ОАВ і ВАС суміжні, їх синуси рівні за величиною.

Так, комбінуючи теорему Піфагора, визначення синуса і деякі інші теореми (зокрема, про суміжних кутах) можна вирішити практично більшість завдань про трикутниках, в тому числі знайти синус зовнішнього кута. Іноді можуть знадобитися додаткові побудови: провести висоту з потрібного кута, продовжити сторону кута за його межі і т.п.